Identitas Trigonometri

Januari 20, 2022 GITA ALIFIA X MIPA 3 Absen 15 Identitas Trigonometri A. PENGERTIAN Identitas trigonometri adalah suatu relasi atau kalimat terbuka yang memuat fungsi-fungsi trigonometri dan yang bernilai benar untuk setiap penggantian variabel dengan konstanta anggota domain fungsinya. Domainnya sering tidak dinyatakan secara eksplisit. Jika demikian maka umumnya yang dimaksud adalah himpunan bilangan real. Namun dalam trigonometri identitas yang memuat fungsi tangens, kotangens, sekans dan kosekans domain himpunan bilangan real ini sering menimbulkan masalah ketakhinggaan. Karena itu maka dalam hal tersebut, meskipun tidak dinyatakan secara eksplisit, maka syarat terjadinya fungsi tersebut merupakan starat yang perlu diperhitungkan. Kebenaran suatu relasi atau suatu kalimat terbuka sebagai suatu identitas perlu diverifikasi atau dibuktikan berdasar aturan atau rumus dasar yang mendahuluinya. B. MEMBUKTIKAN KEBENARAN IDENTITAS Ada tiga pilihan pembuktian identitas, yaitu: Menggunakan rumus-rumus atau identitas-identitas yang telah dibuktikan kebenarannya. (i) ruas kiri diubah bentuknya sehingga menjadi tepat sama dengan ruas kanan. (ii) Ruas kanan diubah bentuknya sehingga menjadi tepat sama dengan ruas kiri. (iii) Ruas kiri diubah bentuknya menjadi suatu bentuk mlain, ruas kanan diubah menjadi bentuk lain, sehingga kedua bentuk akhir itu sama. Dua yang pertama merupakan pilihan utama. Secara umum, yang diubah adalah biasanya adalah bentuk yang paling kompleks dibuktikan sama dengan bentuk yang lebih sederhana. Keberhasilan pembuktian kebenaran suatu identitas memerlukan: (i) telah dikuasainya relasi, aturan atau rumus-rumus dasar trigonometri dan aljabar. (ii) Telah dikuasainya proses pemfaktoran, penyederhanaan, operasi pada bentuk pecahan dan operasi hitung lainnya serta operasi dasar aljabar. (iii) Pelatihan yang cukup. Dalam proses pembuktian, selain yang disebutkan pada dua butir pertama di atas, yang sangat penting diperhatikan ialah bahwa (1) perubahan-perubahan bentuk yang dilakukan berorientasi pada tujuan (ruas lain yang dituju). Maksudnya, bentuk-bentuk yang dituju biasanya adalah bentuk atau derajat yang lebih sederhana dan dapat dikondisikan atau “dipaksakan” adanya, dengan penyesuaian bentuk-bentuk lainnya dan (2) selain menggunakan hubungan antara sekans dan tangens, kosekans dan kotangens, fungsi-fungsi tangens, kotangens, sekans, dan kosekans juga dapat diubah ke fungsi sinus dan atau kosinus. C. RUMUS-RUMUS TRIGONOMETRI I. RELASI/RUMUS DASAR FUNGSI TRIGONOMETRI 1. RELASI KEBALIKAN RELASI PEMBAGIAN RELASI “PYTHAGORAS” 2. FUNGSI TRIGONOMETRI SUDUT-SUDUT YANG BERELASI Kofungsi: sin(90 – a) = cos a cos(90 – a) = sin a Tan(90 – a) = cot a cot(90 – a) = tan a Sec(90 – a) = csc a csc(90 – a) = sec a sin(180 – a)o = sin ao sin(180 + a)o = -sin ao cos(180 – a)o = -cos ao cos(180 + a)o = -cos ao tan(180 – a)o = -tan ao tan(180 – a)o = tan ao sin(360 – a)o = -sin ao sin(-ao) = -sin ao cos(360 – a)o = cos ao cos(-ao) = cos ao tan(360 – a)o = -tan ao tan(-ao) = -tan ao II. RUMUS FUNGSI TRIGONOMETRI DUA SUDUT 1. RUMUS JUMLAH DAN RUMUS SELISIH sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b sin(a – b) = sin a cos b – cos a sin b cos(a + b) = cos a cos b – sin a sin b cos(a – b) = cos a cos b + sin a sin b 2. RUMUS SUDUT RANGKAP sin 2a = 2 sin a cos b cos 2a = cos2a – sin2a = 1 – 2 sin2a = 2 cos2a – 1 III. RUMUS JUMLAH, SELISIH, DAN HASIL KALI FUNGSI SINUS/KOSINUS 1. HASIL KALI SINUS DAN KOSINUS 2. JUMLAH DAN SELIEIH SUDUT sin a cos b = 1/2(sin(a + b) + sin(a – b)) sin A + sin B = 2 sin 1/2(A + B) cos 1/2(A + B) cos a sin b = 1/2(sin(a – b) – sin(a – b)) sin A – sin B = 2 cos1/2(A – B) sin1/2 (A – B) cos a cos b = 1/2(cos(a – b) – cos(a – b)) cos A + cos B = 2 cos 1/2(A + B) cos 1/2(A – B) sin a sin b = -1/2(cos(a – b) – sin(a – b)) cos A – cos B = -2 sin 1/2(A – B) sin 1/2(A – B) Kesulitan dalam “menghafal rumus” disebabkan semuanya hendak dihafalkan satu persatu. Untuk memahami hal-hal “serupa tapi tak sama” yang penting adalah mencari bentuk umum dan perbedaannya. CONTOH SOAL IDENTITAS TRIGONOMETRI: 1. SOAL-SOAL BERDASAR RELASI/RUMUS DASAR FUNGSI TRIGONOMETRI Contoh 1: (Pembuktian dilakukan dengan mengubah bentuk ruas kanan untuk disederhanakan ke bentuk ruas kiri. Pilihan ini menuju ruas kiri ini terutama karena bentuk ruas kiri lebih sederhana). Buktikanlah bahwa sec4q – sec2q = tan4q + tan2q Bukti: Alternatif I Dari ruas kiri Alternatif II Dari ruas kanan Ruas kiri: Ruas kanan: sec4q – sec2q tan4q + tan2q = sec2q(sec2q – 1) = tan2q(tan2q – 1) = sec2q x tan2q = (sec2q – 1) sec2q = (1 + tan2q) x tan2q = = sec4q – sec2q = tan2q + tan4q = ruas kiri (terbukti) = tan4q – tan2q = ruas kanan (terbukti) Contoh Soal lainnya: Sederhanakan bentuk trigonometri (1 + cot2 β) / (cot β . sec2 β). Pembahasan Dari pecahan (1 + cot2 β) / (cot β . sec2 β), sederhanakan masing-masing penyebut dan pembilangnya. 1 + cot2 β = cosec2 β ⇒ 1 + cot2 β = 1/sin2 β cot β . sec2 β = (cos β/ sinβ) . sec2 β ⇒ cot β . sec2 β = (cos β/ sin β).(1/cos2 β) ⇒ cot β . sec2 β = cos β / sin β.cos2 β Setelah digabung kembali diperoleh : (1 + cot2 β) / (cot β . sec2 β) = (1/sin2 β) / (cos β / sinβ.cos2 β) ⇒ (1 + cot2 β) / (cot β . sec2 β) = (1/sin2 β) . (sin β.cos2 β / cos β) ⇒ (1 + cot2 β) / (cot β . sec2 β) = sin β.cos2 β / sin2 β.cos β ⇒ (1 + cot2 β) / (cot β . sec2 β) = cos β / sin β ⇒ (1 + cot2 β) / (cot β . sec2 β) = cot β Jadi, (1 + cot2 β) / (cot β . sec2 β) = cot β. Tentukan nilai dari (sin α - cos α)2 + 2 sin α cos α. Pembahasan Karena keterbatasan ruang dan pengkodean, jadi soal di atas dikerjakan masing-masing agar tidak terlalu panjang. (sin α - cos α)2 = sin2 α - 2 sin α. cos α + cos2 α ⇒ (sin α - cos α)2 = sin2 α + cos2 α - 2 sin α. cos α ⇒ (sin α - cos α)2 = 1 - 2 sin α. cos α Selanjutnya : (sin α - cos α)2 + 2 sin α cos α = 1 - 2 sin α. cos α + 2 sin α cos α ⇒ (sin α - cos α)2 + 2 sin α cos α = 1 Jadi, (sin α - cos α)2 + 2 sin α cos α = 1. Buktikan bahwa sec4 α - sec2 α = tan4 α + tan2 α. Pembahasan sec4 α - sec2 α = tan4 α + tan2 α ⇒ sec2 α (sec2 α - 1) = tan2 α (tan2 α + 1) ⇒ sec2 α (tan2 α) = tan2 α (sec2 α) ⇒ sec2 α . tan2 α = sec2 α . tan2 α Jadi, sec4 α - sec2 α = tan4 α + tan2 α = sec2 α . tan2 α. Terbukti. Nyatakan setiap bentuk berikut ke dalam faktor-faktor yang paling sederhana. a. 1 - cos2 β b. sin2 α - cos2 α c. tan2 α - 1 d. sin2 α - 2 sin α cos α + cos2 α Pembahasan 1 - cos2 β Dari identitas sin2 β + cos2 β = 1, maka diperoleh : ⇒ 1 - cos2 β = sin2 β Jadi, 1 - cos2 β = sin2 β. sin2 α - cos2 α Dari identitas sin2 α + cos2 α = 1, maka sin2 α = 1 - cos2 α. ⇒ sin2 α - cos2 α = 1 - cos2 α - cos2 α ⇒ sin2 α - cos2 α = 1 - 2 cos2 α Karena 2 cos2 α - 1 = cos 2α, maka 1 - 2 cos2 α = - cos 2α. ⇒ sin2 α - cos2 α = -cos 2α Jadi, sin2 α - cos2 α = -cos 2α. tan2 α - 1 Dari identitas 1 + tan2 α = sec2 α, maka tan2 α = sec2 α - 1 ⇒ tan2 α - 1 = sec2 α - 1 - 1 ⇒ tan2 α - 1 = sec2 α - 2 sin2 α - 2 sin α cos α + cos2 α = sin2 α + cos2 α - 2 sin α cos α ⇒ sin2 α - 2 sin α cos α + cos2 α = 1 - 2 sin α cos α ⇒ sin2 α - 2 sin α cos α + cos2 α = 1 - sin 2α Jadi, sin2 α - 2 sin α cos α + cos2 α = 1 - sin 2α . Buktikan tiap identitas trigonometri berikut. a. 1/3 sin2 α + 1/3 cos2 α = 1/3 b. 3 cos2 α - 2 = 1 - 3 sin2 α c. 3 + 5 sin2 α = 8 - 5 cos2 α Pembahasan 1/3 sin2 α + 1/3 cos2 α = 1/3 ⇒ 1/3 (sin2 α + cos2 α) = 1/3 ⇒ 1/3 (1) = 1/3 ⇒ 1/3 = 1/3 Terbukti. 3 cos2 α - 2 = 1 - 3 sin2 α Ingat bahwa sin2 α + cos2 α = 1, maka 3 sin2 α + 3 cos2 α = 3. Dari 3 sin2 α + 3 cos2 α = 3, maka 3 cos2 α = 3 - 3 sin2 α. ⇒ 3 cos2 α - 2 = 1 - 3 sin2 α ⇒ 3 - 3 sin2 α - 2 = 1 - 3 sin2 α ⇒ 1 - 3 sin2 α = 1 - 3 sin2 α. Terbukti. 3 + 5 sin2 α = 8 - 5 cos2 α Dari 5 sin2 α + 5 cos2 α = 5, maka 5 sin2 α = 5 - 5 cos2 α. ⇒ 3 + 5 sin2 α = 8 - 5 cos2 α ⇒ 3 + 5 - 5 cos2 α = 8 - 5 cos2 α ⇒ 8 - 5 cos2 α = 8 - 5 cos2 α. Terbukti. Daftar Pustaka: - https://www.matematrick.com/2016/06/kumpulan-soal-dan-pembahasan-identitas.html - https://www.matematrick.com/2016/02/rumus-identitas-trigonometri.html